麻辣烫问题+三门问题

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题目

这是一个吃麻辣烫时候想到的问题

已知一个人的辣觉感受可以分为10个等级（0-9），在点麻辣烫时若顾客没有指明辣度， 老板选择 1. 提供一个默认辣度 2. 每次随机辣度 哪个选择顾客满意度概率大,若为默认好，对于默认的取值为多少最优？

别问我老板为什么不直接问顾客要多辣。

直觉解

我和室友的直觉都认为是定为默认值会更优。

但我转念如果考虑到店内有些人是回头客的情况，肯定是取一个确定的默认值会比较好。

如果只考虑单次客人，从理论出发的话，结果还是需要严谨地验证一下。于是回头写了个程序跑一跑。

使用python求解

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import random
Num = 100000 # 总样本数
level = 10 #辣觉等级

default_dic = {} # 默认值设定
for i in range(level):
    default_dic[i] = 0
    
cout_random = 0
for i in range(Num):
    Client_Spicy = random.randint(0,level-1) # 样本的辣度偏好
    Random_Spicy = random.randint(0,level-1) # 随机到的辣度
    if Client_Spicy == Random_Spicy:
        cout_random += 1
    default_dic[Client_Spicy] += 1
    
print("每次随机满意度为%.2f%%"%(cout_random/Num*100))
for i in range(level):
    print("默认辣度为%d的满意度为%.2f%%"%(i,default_dic[i]/Num*100))

output

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每次随机满意度为10.06%
默认辣度为0的满意度为10.07%
默认辣度为1的满意度为9.84%
默认辣度为2的满意度为10.01%
默认辣度为3的满意度为10.06%
默认辣度为4的满意度为10.10%
默认辣度为5的满意度为10.06%
默认辣度为6的满意度为9.92%
默认辣度为7的满意度为10.10%
默认辣度为8的满意度为9.99%
默认辣度为9的满意度为9.85%

从这个结果上看无论做的是什么决策结果都是是相等的。仔细想想也确实，双方处于一个相互未知的状态，能撞一起的概率就应该是1/level.

下面考虑辣度感受为一个范围的情况，我刚开始觉的这种情况可归为等级划分细致程度不同，但后来想想可能存在出入，尤其是边值情况，所以还是写一个程序来验证下

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# 可接受度在一个范围
import random
Num = 10000 # 样本总数
level = 10 #辣觉等级
Acceptable = 1 #可接受度

default_dic = {}
for i in range(level):
    default_dic[i] = 0
cout_random = 0

for i in range(Num):
    Client_Spicy = random.randint(0,level-1) # 样本的辣度偏好
    Random_Spicy = random.randint(0,level-1) # 随机到的辣度
    if  Client_Spicy - Acceptable <= Random_Spicy <= Client_Spicy + Acceptable:
        cout_random += 1
    for j in range(Client_Spicy - Acceptable,Client_Spicy + Acceptable + 1):
        if 0 <= j < level: 
            default_dic[j] += 1
print("每次随机满意度为%.2f%%"%(cout_random/Num*100))
for i in range(level):
    print("默认辣度为%d的满意度为%.2f%%"%(i,default_dic[i]/Num*100))

output 

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每次随机满意度为27.49%
默认辣度为0的满意度为20.67%
默认辣度为1的满意度为30.74%
默认辣度为2的满意度为29.59%
默认辣度为3的满意度为29.32%
默认辣度为4的满意度为29.44%
默认辣度为5的满意度为29.58%
默认辣度为6的满意度为30.01%
默认辣度为7的满意度为29.76%
默认辣度为8的满意度为30.37%
默认辣度为9的满意度为20.00%

随机情况能从10%左右升到不到30%非常地符合认知。默认值选中间会存在概率提升3倍，边值翻两倍。 看到结果后觉得还是符合预测的。

三门问题

自己想的问题还是过于简单了，于是我另找到一个迷惑直觉的概率问题--三门问题。问题是这样的： 在一个游戏节目中，有三扇门供你选择，其中两扇后面是羊，一扇后面是跑车，选门后就可以获得门后的奖品。很明显选中大奖的概率是1/3，但当你做出选择后，主持人没有立即开门，而是开了另外两扇中的其中一扇门，里面是一只羊，这时候主持人问题你是否需要改变主意改选剩下的那扇。改还是不改？获奖概率分别是多少？

直觉解

部分人认为是1/2，因为此时问题变为了2选1，换与不换结果相同。

有人认为是2/3，因为玩家先做出了决策概率是1/3，如果选择换，相当于选择了另外两个，概率将提升到2/3.

讨论

我认为应该分为 1. 主持人知道车在哪扇门后面 2. 主持人不知道车在哪扇门后面 两种情况讨论。

在情况1下，记玩家不更改选中车事件为A，在三个门的情况下易知\(P(A)=\frac{1}{3}\)，记主持人选中羊所在门事件为B，因为主持人知道车在哪里所以也知道羊在哪里，选中羊的概率为\(P(B)=1\).

现求在事件B的条件下A的概率，即\(P(A\mid B)\),根据贝叶斯公式有 \[P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}\] 显然\(P(B\mid A)\)也应该为1，即可得 \[P(A\mid B)=P(A)=\frac{1}{3}\]

换门后选中车和不换选到车是一个事件集，所以换门后选到车概率为\(\frac{2}{3}\)

情况2下，公式相同只需计算下\(P(B\mid A)\)和\(P(B)\)即可。

\(P(B\mid A)\)为玩家第一次就选中车的情况下，主持人从另外两扇门中选中羊的概率，很明显概率为1

P(B)为在玩家选择后主持人再次选择抽中羊的概率，在数值上应为\(P(B)=\frac{1}{3} \times 1 + \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\).

所以 \[P(A \mid B) = \frac{1 \times \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}\]

结语

三门问题用枚举法也可以解，问题本身也不算复杂。有人表示引起争论的原因可能是题目本身存在歧义。This argument maybe true.